Himpunan

A. Pengertian 
Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang diterangkan dengan jelas.
Notasi :
Penulisan himpunan diawali dengan huruf kapital.
Elemen/anggota suatu himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal {}
Contoh :
Himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari -3 lebih kecil dari 3. Jika nama himpunannya dinotasikan dengan himpunan A, berarti himpuna tersebut dapat dituliskan dengan : A = {-2,-1,0,1,2}

B. Keanggotaan Suatu Himpunan
Untuk menyatakan suatu anggota himpunan digunakan notasi Î, sedangkan untuk menyatakan bukan anggota digunakan notasi Ï.
Contoh :
Himpunan A = { nama-nama bulan dalam tahun masehi}, maka februari Î A, sedangkan ahad Ï A.

Banyaknya suatu anggota himpunan A dituliskan dengan notasi n (A).
Contoh :
Himpunan A = {nama-nama bulan dalam tahun masehi}, maka jelas bahwa n(A) = 12, karena jumlah anggota himpunan A atau jumlah bulan dalam satu masehi adalah 12.

C. Macam-Macam Himpunan Bilangan Tertentu.
1. Jika G adalah himpunan bilangan genap ® G = {2,4,6,..,..}
2. Jika L adalah himpunan bilangan ganjil  ® L = {1,3,5,7,...,...}
3. Jika A adalah himpunan bilangan asli     ® A = {1,2,3,...,...}
4. Jika P adalah himpunan bilangan prima  ® P  = {2,3,5,7,....}
5. Jika C adalah himpunan bilangan cacah  ® C  = {0,1,2,3,..,..}

D. Menyatakan Suatu Himpunan 
a. Cara Deskripsi
Dengan penjelasan sifat-sifatnya atau dengan notasi pembentuk himpunan.
Contoh :
A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 7, dapat ditulis :
1. A = {bilangan cacah kurang dari 7}, atau
2. A = { x ½x < 7, Î bilangan cacah }

b. Cara Tabulasi 
Dengan mendaftarkan anggota himpunan satu per satu.
Contoh ;
A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 7, dapat dituliskan :
A = {0,1,2,3,4,5,6}

E. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memliki anggota.
Himpunan kosong dinotasikan dengan Ø atau {}
Contoh :
A = { siswa kelas VIII yang memili tinggi lebih dari 10 meter}, artinya A = Ø atau A = {}

Himpunan semesta adalah suatu himpunan yang memuat semua anggota dalam pembicaraan. Himpunan semesta umumnya dituliskan dengan notasi S.
Contoh :
Jika A = { a,b,c,d,e} dan X = {f,g,h,i}, maka himpunan semesta dapa berupa S = (a,b,c,d,f,g,h,i}

F. Himpunan Bagian
Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota dari himpunan B, maka A adalah himpunan bagian dari B atau subset B

Penulisan notasi himpunan bagian :
A Ì B artinya A adalah himpunan bagian dari B
A Ë B artinya A bukan merupakan himpunan bagian dari B.
Contoh :
Jika A = {bilangan asli}, Z = {bilangan bulat}, dan N = {bilangan prima}, maka hubungan yang yang dapat dilihat dari ketiga himpunan tersebut adalah : Z Ì A dan N Ì A

Sifat
Himpunan kosong merpakan himpunan bagian dari setiap himpunan dan setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu sendiri, yaitu untuk suatu himpunan A, maka berlaku  Ø Ì A dan A Ì A.
Contoh :
Jika P = {c.b.f}, maka himpunan bagian dari P adalah : {c}. {b}, {c}, {c,b}, {c,f}, {b,f}, {c,b,f} dan {}. Jadi banyaknya himpunan bagian dari himpunan P ada 8, yang juga termasuk himpunan kosong {}, dan himpunan P itu sendiri {c,b,,f}

Catatan
Jika jumlah anggota suatu himpunan A adalah n(A) = N, maka banyaknya anggota himpunan dari A adalah sebanyak 2^N himpunan.

G. Diagram Venn dan Hubungan Antar Himpunan
Diagram venn adalah gambar yang digunakann untuk menunjukan hubungan antara dua himpunan atau lebih.
Beberapa hubungan antar himpunan dapat ditunjukan dengan diagram venn, diantaranya :
a. Hubungan salang lepas

Dua Himpunan x dan y dikatakan saling lepas jika tidak ada satu pun anggota himpunan x yang menjadi anggota himpunan y, dan juga sebaliknya.
Contoh :
x = {1,4,5} dan y = {p,q,r}, artinya x dan y saling lepas, dan hubungan ini dapat dinyatakan dengan diagram venn di samping.




b. Hubungan Berpotongan 

Himpunan x dan y dikatakan berpotongan atau beririsan jika ada anggota himpunan x yang juga menjadi anggota himpunan  y.

Contoh :
x = {p,r,i,n,c,e}, y = {p,a,r,i,s}
Maka dapat dinyatakan seperti diagram venn disamping.





 c. Himpunan Bagian 

Suatu himpunan yang seluruh anggotanya merupakan bagian dari himpunan yang lain dan di notasikan dengan x Ì y.

Contoh :
Himpunan x = {1,3,5} dan y = {1,2,3,4,5}
maka diagram vennnya seperti gambar di samping.




D. Himpunan Ekuivalen
Dua himpunan x dan y dikatakan ekuivalen dan dituliskan denga notasi x ~ y, jika kedua himpunan tersebut memiliki anggota yang sama banyaknya. Dengan kata lain, n(x)  = n(y).
Contoh :
x = {p,e,r,s,i,b}. y = {t,e.r,t,i,b} ® n(x)  = n(y) = 6 artinya x ~ y.


e. Himpunan yang sama 

Dua himpunan x dan y dinyatakan sama jika setiap anggota himpunan x merupakan anggota himpunan y, dan sebalinya.
Dinotasian dengan : A = B

Contoh :
x = {bilangan cacah antara 2 dan 8 }
y = {bilangan asli antara 2 dan 8}
diagram venn jadi x = y = {3,4,5,6,7}


H. Operasi Himpunan
a. Irisan (Intersection)
Irisan himpunan x dan y adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota x dan juga anggota y, dinotasikan : x Ç y dibaca "Irisan himpunan x dan y"
Contoh :
x = {p,r,i,n,c,e}
y = {p,a,r,i,s}
diagram venn :
x Ç y  = {p,r,i}

b. Gabungan (Union)
himpunan yang anggota - anggotanya merupakan gabungan dari anggota yang lain dan dinotasikan : x È y, dibaca " x union y atau gabungan dari y"
Contoh :
x = {s,i,u,n,g}
y = {i,n,d,a.h}
diagram venn x È y :

c. Komplemen
Komplemen suatu himpunan x dan ditulis x^c , adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A.
Contoh :
x = {himpunan bilangan asli kurang dari 9}
y = {himpunan bilangan prima kurang dari 12}
artinya , y^c = {1,4,6,8}

I. Sifat-Sifat Operasi Himpunan
a. Komutatif
(xÈy)Èz = xÈ(yÈz)
(xÇy)Çz = xÇ(yÇz)
xÈ(yÇz) = (xÈy)Ç(xÈz)
xÈy        = yÈx

b. Asosiatif 
(xÈy)Èz = xÈ(yÈz)
(xÇy)Çz = xÇ(yÇz)
xÈ(yÇz) = (xÈy)Ç(xÈz)

c. Sifat De morgan

(xÇy)^c  =  x^c  È y^c

(xÈy)^c  =  x^c  Ç y^c

J. Jumlah Anggota Himpunan

Misalkan dimiliki dua himpunan x dan y dengan diagram venn :

Maka akan diperoleh hubungan sebagai berikut :

n(xÈy) = n(x) + n(y) - n(xÇy)

Sedangkan untuk tiga himpunan, akan digunakan rumus :

n(xÈyÈz) = n(x)+n(y)+n(z) - n(xÇy) - n(xÇz) - n(yÇz) + n(xÇyÇz)

Contoh :

Dari 40 orang anak, 16 orang memelihara burung, 21 memelihara kucing, dan 12 orang memelihara burung dan kucing. Jumlah anak yang tidak memiliki burung ataupun kucing adalah ?????

Jawab :

S = {banyaknya anak} ® n(S) = 40 

B = {anak yang memelihara burung}® n(S) = 16

C = {anak yang memelihara kucing} ® n (C) = 21

BÇC= {anak yang memelihara burung dan kucing}®  n(BÇC) = 12

Diagram venn : 

Jika BÈC = {jumlah seluruh anak yang memelihara burung digabung dengan jumlah yang memelihara kucing}

maka n(BÈC) = n(B) + b(C) - n(BÇC)  = 16 + 21 -12 = 25

dan n(BÈC)^c = {anak yang tidak memelihara burung atau pun kucing}

n(BÈC)^c = n(S) - n(BÈC) = 40 - 25 = 15

Maka jumlah anak yang tidak memelihara burung ataupun kucing adalah 15 orang.

Aturan Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bentuk Akar

Dalam operasi bilangan ada yang namanya operasi tambah atau operasi pertambahan dan operasi kurang atau operasi pengurangan. Sejak kita sekolah dasar kita pasti sudah belajar yang namanya pertambahan dan perkalian, dimana jika 1 + 1 = 2 atau 2-1 = 1. Operasi pertambahan dan pengurangan adalah ilmu yang paling dasar dalam pelajaran matematika. Jika kita tidak bisa atau tidak faham tentang pengurangan dan pertambahan maka sudah dipastikan kita tidak akan pernah faham tentang ilmu matematika.

Namun ktika masuk jenjang sekolah menengah, maka kita akan mendapatkan materi yang lebih tinggi lagi levelnya. Ktika dahulu di sekolah dasar kita hanya menjumlahkan atau mengkurangan bilangan bilangan biasa saja seperti bilangan rill, bilangan desimal, penjumlahan dan pengurangan ini sudah sangatlah mudah, namun bagaimana jika anda diberikan sebuah soal tentang penjumlahan dan pengurangan pada bilangan berbuntuk akar, misalkan berapakan hasil dari √2 + √5 ??? apakah hasilnya √7?? tentu saja bukan, karena aturan penjumlahan dan pengurangan pada bilangan ankar itu berbeda, tentunya mempunyai aturan tersendiri.

Aturan Penjumlahan Bilangan Bentuk Akar

Aturan penjumlahan pada bilangan bentuk akar hanyalah satu yaitu "Bentuk akar dapat dijumlahkan jika bentuk akarnya sejenis".

Contoh :

Berpakah hasil dari √32 + √8 ?????

Jawab :

Nah karena bentuk akarnya belum sama, maka kita harus sederhanakan dahulu bentuk bentuk akarnya supaya sama, maka :

√32 = √16 x √2

√32 = √(4x4) x √2
√32 = 4 x √2

√32 = 4√2

dan :

√8 = √4 x √2

√8 = √(2x2) x √2

√8 = 2 x √2

√8 = 2√2

 maka :

√32 + √8 = 4√2 + 2√2

√32 + √8 = (4 + 2)√2

√32 + √8 = 6√2

Jadi hasil dari √32 + √8 adalah 6√2

Aturan Pengurangan Bilangan Bentuk Akar

Aturan pengurangan pada bentuk akar pun sama dengan aturan penjumlahan bentuk akar yaitu "Bentuk akar dapat dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis".

Contoh :

Berpakah hasil dari √32 - √8 ?????

Jawab :

Nah karena bentuk akarnya belum sama, maka kita harus sederhanakan dahulu bentuk bentuk akarnya supaya sama, maka :

√32 = √16 x √2

√32 = √(4x4) x √2
√32 = 4 x √2

√32 = 4√2

dan :

√8 = √4 x √2

√8 = √(2x2) x √2

√8 = 2 x √2

√8 = 2√2

 maka :

√32 - √8 = 4√2 - 2√2

√32 - √8 = (4 - 2)√2

√32 - √8 = 2√2

Jadi hasil dari √32 - √8 adalah 2√2

Kesimpulan

Jadi untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan dalam bentuk akar itu berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan pada bentuk bilangan biasa, yang dimana aturannya sudah saya jelaskan diatas. Dan apabila bilangan bilangan akar yang akan dioperasikan pada penjumlahan atau pengurangan belum sama bentuk akarnya maka haruslah disederhanakan dulu sehingga bentuk akarnya sama, untuk cara penyederhanaannya bisa kalian baca di artikel Cara menyederhanakan bilangan bentuk akar. Dan apabila masih tidak bisa disederhanakan maka sudahlah hasilnya sama seperti soal.

Aturan Perkalian Pada Bilangan Bentuk Akar

Aturan perkalian bilangan bentuk akar berbeda dengan aturan penjumlahan dan pengurangan bilangan bentuk akar. Aturan perkalian bilangan bantuka akar ini memiliki aturan aturan khusus, diantaranya :

1. Aturan perkalian bilangan bulat dengan bilangan bentuk akar
2. Aturan perkalian bilangan bentuk akar dengan bilangan bentuk akar

1). Aturan Perkalian Pada Bilangan Bulat dengan Bilangan Bentuk Akar

Keterangan :

Sombol "a", "b", dan "c", itu merupakan sebuah simbol yang melambangkan sebuah bilangan tertentu.

Contoh Soal :

Berapakah hasil dari 4 x 3√2 ???

Jawab :

nah kemudian kita masukan bilangan bilangan ke simbol rumus diatas, maka :

a = 4

b = 3

c = 2

Nah kemudian kita operasikan dengan rumus a x b√c = ab√c, maka :

a x b√c = ab√c

4 x 3√2 = (4 x 3)√2

4 x 3√2 = 12√2

Jadi 

Hasil dari 4 x 3√2 adalah 12√2

2. Aturan Perkalian Bilangan Bentuk Akar dengan Bilangan Bentuk Akar

Keterangan :

Sombol "a", "b", dan "c", itu merupakan sebuah simbol yang melambangkan sebuah bilangan tertentu.

Jadi ada tiga aturan perkalian bilangan bentuk akar dengan bilangan bentuk akar, diantaranya :

1. Perkalian bilangan bentuk akar dengan bilangan bentuk akarnya yang tidak sejenis :
   √a x √b = √(a x b)
2. Perkalian bilangan bulat yang memiliki bentuk akar dengan bilangan bulat yang memiliki bentuk akar pula :
   a√c x b√d = (a x b)√(c x d)
3. Perkalian bilangan bentuk akar yang sejenis :
   √a x √a = a

Contoh Soal :

Berapakah hasil dari :

1. √2 x √3 = ... ??
2. 2√3 x 4√5 = ....???
3. √2 x √2 =....???
   

Jawab :

1. Untuk perkalian bilangan akar √2 x √3, kita gunakan rumus √a x √b = √(a x b) dengan a = 2 dan b = 3. Maka :
   √a x √b = √(a x b)
   √2 x √3 = √(2 x 3)
   √2 x √3 = √6
   Jadi hasil dari √2 x √3 adalah √6
2. Untuk perkalian bilangan akar 2√3 x 4√5, kita gunakan rumus a√c x b√d = (a x b)√(c x d) dengan a = 2, b = 4, c = 3, dan d = 5. Maka :
   a√c x b√d = (a x b)√(c x d)
   2√3 x 4√5 = (2 x 4)√(3 x 5)
   2√3 x 4√5 = 8√15
   Jadi hasil dari 2√3 x 4√5 adalah 8√15
3. Untuk perkalian bilangan akar √2 x √2, kita gunakan rumus √a x √a = a, dengan a = 2. Maka :
   √a x √a = a
   √2 x √2 = 2
   Jadi hasil dari √2 x √2 = 2 adalah 2

Kesimpulan

Jadi untuk mengoperasikan perkalian pada bilangan bentuk akar tentulah beda dengan pengoperasian penjumlahan bilangan bentuk akar. Ada aturan aturan tertentu untuk mengoperasikannya seperti yang sudah saya jelaskan di atas.

Sifat Asosiatif Komutatif dan Distributif

Asosiatif, distributif, dan komutatif. Mungkin kata - kata tersebut terdengar aga asing di ingatan kita. Tapi tahukah anda bahwa assosisatif, distributif, dan komutatif adalah bagian hal mendasar yang sangat sekali penting dalam ilmu matematika.

Asosiatif

Asosiatif adalah sebuah sifat dalam operasi bilangan matematika yang menyatakan bahwa :

• Dalam penjumlahan berlaku :
  a + (b + c) = (a + b) + c
  Contoh :
  1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3
  1 + 5 = 3 + 3
  6 = 6
• Dalam perkalian berlaku:
  a x (b x c) = (a x b) x c
  Contoh :
  1 x (2 x 3) = (1 x 2) x 3
  1 x 6 = 2 x 3
  6 = 6

Catatan : Untuk sifat Assosiatif tidak berlaku dalam pengurangan dan pembagian.

Komutatif

Komutatif adalah sebuah sifat dalam operasi bilangan matematika yang menyatakan bahwa :

• Dalam penjumlahan berlaku :
  a + b = b + a
  Contoh :
  1 + 2 = 2 + 1
  3 = 3
• Dalam perkalian berlaku :
  a x b = b x a
  Contoh :
  1 x 2 = 2 x 1
  2 = 2

Catatan : Untuk sifat Komutatif tidak berlaku dalam pengurangan dan pembagian

Distributif 

Sifat distributif ini hanya berlaku pada operasi bilangan perkalian dengan penjumlahan atau pengurangan. Sifat distributif ini menyatakan bahwa :
a x ( b + c ) = (a x b) + ( a x c) atau a x ( b - c ) = (a x b) - ( a x c)

Contoh 1 :

3 x ( 2 + 1) = ( 3 x 2 ) + ( 3 x 1 )
3 x 3= 6 + 3
9 = 9

Contoh 2 :

3 x ( 2 - 1) = ( 3 x 2 ) - ( 3 x 1 )
3 x 1= 6 - 3
3 = 3

Kesimpulan

Jadi untuk sifat operasi bilangan assosiatif dan komutatif hanya berlaku pada operasi bilangan penjumlahan dan perkalian saja, dan untuk sifat distributif hanya berlaku untuk operasi bilangan campuran yaitu operasi bilangan perkalian dengan penjumlahan atau pengurangan saja.

Tips Mengerjakan Soal Cerita.

Kadang soal cerita menjadi hantu tersendiri dalam pelajaran matematika, tapi sebenarnya bisa dengan beberapa tips dapat dikerjakan dengan mudah.

Salah satu caranya dengan mengubah soal cerita menjadi model matematika.

Pernah kah temen-teman belajar matematika tentang program linear?? Jika pernah apa tanggapan teman-teman tentang program linear ?? Mudahkah atau sulitkah ? Jika sulit itu artinya teman-teman belum tahu dasar dari materi matematika tentang program linear. Dalam dasar pelajaran matematika tentang program linear itu kita akan diperintahkan mengubah soal cerita kedalam model atau bentuk kalimat matematika. Biasanya banyak siswa maupun siswi yang menyerah mempelajari program linear hanya karena mereka tidak dapat mengubah soal cerita matematika menjadi model  matematika. Tapi jangan khawatir teman-teman karena pada artikel kali ini saya akan membahas tentang cara mengubah kalimat verbal atau soal cerita menjadi model matematika.

Langkah-langkah mengubah Soal Cerita Menjadi Model Matematika

1. Tuliskan semua hal yang diketahui dan di anggap penting pada soal
2. Tentukan variable-varabel pada hal yang diketahui
3. Buatlah semua hal yang dikatahui dan yang sudah menjadi variabel ke dalam sebuah tabel 
4. Buatlah model matematika dari tabel
    

Contoh soal :

Untuk membuat roti A diperlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega. Sedangkan untuk roti B diperlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tepung yang tersedia hanya 4 kg dan mentega yang ada hanya 1,2 kg. Buatlah model matematikanya!!!

Jawab :

1. Tuliskan semua hal yang diketahui dan dianggap penting pada soal.

Jadi pada langkah yang pertama kita harus menuliskan dulu semua hal yang diketahui pada soal yang dianggap penting.

Diketahui :

Roti (A) : Memerlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega

Roti (B) : Memerlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega

Persediaan Tepung : 4kg = 4.000gram

Persediaan Mentega : 1,2kg = 1.200gram

2. Tentukan variabel-variabel pada hal yang diketahui

Pada langkah kedua ini kita harus menentukan mana yang akan menjadi variabel utama. Misalkan banyaknya Roti (A) = x dan banyaknya Roti (B) = y menjadi variabel utama, berarti variabel yang lainnya adalah tepung dan mentega.

Jadi yang menjadi variabel adalah :

Roti (A) dan Roti (B) sebagai variabel utama, dan sebagai variabel lainnya adalah tepung dan mentega.

Catatan : variabel utama itu adalah variabel yang menjadi tujuan yang akan dicari dari suatu soal. 

3.Buatlah semua hal yang diketahui dan yang sudah menjadi variabel ke dalam sebuah tabel 

Nah pada langkah yang ini kita akan membuat sebuah tabel dari hal yang diketahui dan yang sudah tertentukan variabelnya, maka tabel model matematikanya adalah sebagai berikut :

4. Buatlah model matematika dari tebel

Nah setelah teman-teman membuat tabel, kemudian buat kalimat matematika dari tabel tersebut, maka :

Karena terigu dan mentega paling banyak tersedia adalah 4.000 gram dan 1.200 gram, jadi tanda pertidaksamaannya adalah <. 

Kalimat matematika 1  :

200 x + 100 y <  4.000, disederhanakan menjadi :

2x + y < 40

Kalimat Matematika 2 :

25x + 50y < 1.200, disederhanakan menjadi :

x + 2y < 48

Karena x dan y adalah pasti bilangan bulat positive maka timbul juga kalimat matematika berikutnya, yaitu :

Kalimat matematika 3 :

x > 0

Kalimat matematika 4 :

y > 0

Maka model matematika dari soal diatas terdiri dari 4 kalimat matematika yaitu :

1. 2x + y < 40
2. x + 2y < 48
3. x > 0
4. y > 0

Kesimpulan

Sebenarnya sangat mudah untuk membuat model matematika jika kita tahu langkahnya. Ada 4 langkah yang dapat membantu teman-teman mempermudah membuat kalimat model matematika, diantaranya :

1. Tuliskan semua hal yang diketahui dan di anggap penting pada soal
2. Tentukan variabel-variabel pada hal yang diketahui
3. Buatlah semua hal yang diketahui dan yang sudah menjadi variabel ke dalam sebuah tabel 
4. Buatlah model matematika dari tabel

selamat berlatih