Bilangan Pecahan

Pengertian Bilangan Pecahan

Ibu mempunyai 20 buah jeruk yang akan dibagikan pada 3 orang anak, adi memperoleh 4 buah jeruk, fitri memperoleh 5 buah jeruk, dan ketut memperoleh 10 buah jeruk. Adapun sisanya disimpan oleh ibu. Dalam hal ini, Adi memperoleh 4/20 bagian jeruk, Fitri memperoleh 5/20 bagian jeruk, dan ketut memperoleh 10/20 bagian jeruk. Apakah menurutmu sisa yang disimpan oleh ibu 1/20 bagian jeruk ?

Bilangan-bilangan 4/20, 5/20, 10/20, dan 1/20 yang merupakan banyak buah jeruk dibandingkan jumlah keseluruhan buah jeruk disebut bilangan pecahan. Bilangan-bilangan pecahan sering disebut sebagai pecahan saja. Pada pecahan tersebut, angka-angka 4, 5, 10, dan 1 disebut pembilang, sedangkan angka 20 disebut penyebut.

Dari urain di atas, dapat dikatakan bahwa pecahan merupaka bagian dari keseluruhan.

Sekarang perhatikan gambar di atas!

Luas daerah warna hijau pada gambar di atas (a) menunjukan pecahan 1/3

Luas daerah warna hijau pada gambar di atas (b) menunjukan pecahan 3/6

Luas daerah warna hijau pada gambar di atas (c) menunjukan pecahan 3/12

Luas daerah warna hijau pada gambar di atas (d) menunjukan pecahan 5/24

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagain berikut :

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p/q, dengan p,q bilangan bulat dan q tidak sama dengan 0. Bilangan p disebut pembilangan dan bilangan q  disebut penyebut.

2. Pecahan Senilai

Perhatikan Gambar di atas !

Luas daerah yang berwarna hijau (a) pada gambar di atas menunjukan 1/4 dari luas lingkaran.

Luas daerah yang berwarna hijau (b) pada gambar di atas menunjukan 2/8 dari luas lingkaran.

Luas daerah yang berwarna hijau (c) pada gambar di atas menunjukan 3/12 dari luas lingkaran.

Dari ketiga gambar tersebut, tampak bahwa daerah yang berwarna hijau memiliki luas yang sama. Hal ini berarti 1/4 = 2/8 = 3/12, selanjutnya, pecahan-pecahan 1/4, 2/8, dan 3/12 dikatakan sebagai pecahan-pecahan senilai.

Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang benilai sama.

Untuk memperoleh pecahan yang senilai, pelajari uraian berikut!

1/3 = 1x2 / 3x2 = 2/6

1/3 = 1x3 / 3x3 = 3/9

1/3 = 1x4 / 3x4 = 4/12

2/6 = 2 : 2 / 6 : 2 = 1/3

3/9 = 3 : 3 / 9 : 3 = 1/3

4/12 = 4 :4 / 12 : 4 = 1/3

5/15 = 5 : 5 / 15 : 5 = 1/3

Pecahan - pecahan 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, dan 5/15 di atas mempunyai nilai yang sama, sehingga dapat ditulis 1/3 = 2/6 =  3/9 = 4/12 = 5/15.

Dari uraian di atas, tampak bahwa untuk memperoleh pecahan-pecahan yang senilai dapat dilakukan dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut :

Jika diketahui pecahan p/q dengan p , q tidak sama dengan 0 maka berlaku p/q = p x a / q x a  atau p/q = p : b / q : b,  di mana a, b, konstanta positif bukan no.

Contoh :

Tentukan dua pecahan yang senilai dengan pecahan 2/3

Penyelesaian :

2/3 = 2 x 2 / 3 x 2 = 4/6

2/3 = 2 x 5 / 3 x 5 = 10/15

3. Menyederhanakan Pecahan

Kalian telah mengetahui cara menentukan pecahan senilai, yaitu dengan mengkalikan atau membagi pembilang dan pecahan dengan bilangan yang sama, kecuali nol (0).

Sekarang perhatikan cara menemukan pecahan pecahan senilai berikut :

24/36 = 24 : 2 / 36 : 2 = 12/18

24/36 = 24 : 3 / 36 : 3 = 8/12

24/36 = 24 : 6 / 36 : 6 = 4/6

24/36 = 24 : 12 / 36 : 12 = 2/3

Pecahan 2/3 pada pengerjaan di atas tidak dapat dibagi lagi dengan bilangan lain selain nol. Dalam hal ini, pecahan 2/3 merupakan bentuk paling sederhana 24/36.

Untuk memperoleh bentuk paling sederhana, pecahan 24/36 harus dibagi dengan bilangan 12. Coba cek apakan 12 adalah FPB dari bilangan 24 dan 36?

Suatu pecahan p/q, q tidak sama dengan 0 dapat disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB nya. Hal ini dapat ditulis sebagai berikut.

Dalam menyederhanakan sebarang pecahan p/q, q tidak sama dengan 0, berlaku p/q = p : a / q : a, dimana a Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari p dan q.

Contoh :

Nyatakan pecahan 18/45 dalam bentuk pecahan paling sederhana!

Penyelesaian :

FPB dari 18 dan 45 adalah 9.

18/45 = 18 : 9 / 45 : 9 = 2/5

Jadi, bentuk pecahan paling sederhana dari 18/45 adalah 2/5.

4. Menyatakan Hubungan Antara Dua Pecahan

Perhatikan gambar di atas !

Luas daerah berwarna hijau (a) pada gambar di atas menunjukan 1/3 dari luas keseluruhan. Adapun luas daerah berwarna hijau (b) menunjukan 2/3 dari keseluruhan. Tampak bahwa pada gambar di atas (b) lebih besar dari luas arsiran pada gambar (a) atau dapat ditulis 2/3 > 1/3 atau 1/3 < 2/3.

Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa untuk menyatakan hubungan dua pecahan, bandingkan pembilangnya, jika penyebut kedua pecahan sama. Adapun jika penyebut kedua pecahan berbeda, untuk membandingkan pecaha tersebut, samakan terlebih dahulu penyebut kedua pecahan (dengan menentukan KPK dan penyebut kedua pecahan), kemudian dibandingkan pembilangnya. Contoh :

berilah tanda > atau < untuk setiap pernyataan berikut sehingga menjadi pernyataan yang benar.

3/4 ... 2/3

Penyelesaian :

3/4 = 9/12

2/3 = 8/12

(KPK dari 4 dan 3 adalah 12)

karena 9/12 > 8/12 maka 3/4 > 2/3 atau 2/3 < 3/4

5. Menentukan Letak Pecahan Pada Garis Bilangan

Pada bab sebelumnya kalian telah mempelajari letak bilangan bulat pada garis bilangan. Coba kalian ingat kembali garis bilangan pada bilangan bulat.

Pada garis bilangan, bilangan pecahan terletak di antara dua bilangan bulat. Sebagai contoh, jika pada garis bilangan di atas, jarak antara dua bilangan bulat yang berdekatan kalian bagi dua maka garis bilangannya menjadi :

Adapun untuk letak pecahan yang lain, dapat kalian tentukan dengan membagi jarak antara dua bilangan bulat menurut besarnya penyebut.

Pada garis bilangan, pecahan yang lebih besar berada di sebelah kanan, sedangkan pecahan yang lebih kecil berada di sebelah kiri. Perhatikan gambar di atas !

Pada garis bilangan di atas, tampak terdapat pecahan negatif. Pecahan negatif adalah pecahan yang nilainya lebih kecil dari pada nol. Pecahan negarif menggunakan tanda negatif, misalnya :

-1/2, -1/3, -1/4, dan -3/5. Coba, Letakan pecahan -1/2, -1/3, -1/4, dan -3/5 pada garis bilangan.

6. Menentukan Pecahan Yang Nilainya di Antara Dua Pecahan

Misalkan, kita mempunyai pecahan 1/6 dan 2/6. Menurutmu, apakah ada bilangan pecahan yang terletak di antara pecahan 1/6 dan 2/6? Untuk menjawabnya, perhatikan bahwa 1/6 = 2/12 dan 2/6 = 4/12. Kita peroleh bahwa 2/12 < 3/12 < 4/12. Jadi, pecahan yang terletak di antara 1/6 dan 2/6 adalah 3/12.

Coba cek hal ini dengan menggambarnya pada garis bilangan.

Di antara dua pecahan yang berbeda selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua pecaha tersebut.

Untuk menentukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan, langkah-langkahnya sebagai berikut.

1. Samakan penyebut dari kedua pecahan. Kemudian, tentukan nilai pecahan yang terletak di antara kedua pecahan tersebut.
2. Ubahlah lagi penyebutnya, jika belum diperoleh pecahan yang dimaksud. Begitu seterusnya.

Contoh :

Tentukan sebuah pecahan yang terletak di antara 3/5 dan 2/3!

Penyelesaian :

3/5 = 3 x 3 / 5 x 3 = 9/15

2/3 = 2 x 5 / 3 x 5 = 10/15

Karena belum diperoleh pecahan yang dimaksud maka masing-masing penyebutnya diperbesar lagi sehingga diperoleh :

9/15 = 9 x 2 / 15 x 2 = 18/30

10/15 = 10 x 2 / 15 x 2  = 20/30

Di antara pecahan 18/30 dan 20/30 terdapat pecahan 19/30. Jadi, pecahan yang terletak di antara 3/5 dan 2/3 adalah 19/30.

Nah segini dulu ya artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada kesalahan. Baca juga artkel lanjutannya yaitu tentang cara mengubah pecahan ke bentuk lain

Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.

Materi ini dikutip dari buku matematika konsep dan aplikasinya karangan Dewi Nuharini dan Tri Wahyuni.

Himpunan

A. Pengertian 
Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang diterangkan dengan jelas.
Notasi :
Penulisan himpunan diawali dengan huruf kapital.
Elemen/anggota suatu himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal {}
Contoh :
Himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari -3 lebih kecil dari 3. Jika nama himpunannya dinotasikan dengan himpunan A, berarti himpuna tersebut dapat dituliskan dengan : A = {-2,-1,0,1,2}

B. Keanggotaan Suatu Himpunan
Untuk menyatakan suatu anggota himpunan digunakan notasi Î, sedangkan untuk menyatakan bukan anggota digunakan notasi Ï.
Contoh :
Himpunan A = { nama-nama bulan dalam tahun masehi}, maka februari Î A, sedangkan ahad Ï A.

Banyaknya suatu anggota himpunan A dituliskan dengan notasi n (A).
Contoh :
Himpunan A = {nama-nama bulan dalam tahun masehi}, maka jelas bahwa n(A) = 12, karena jumlah anggota himpunan A atau jumlah bulan dalam satu masehi adalah 12.

C. Macam-Macam Himpunan Bilangan Tertentu.
1. Jika G adalah himpunan bilangan genap ® G = {2,4,6,..,..}
2. Jika L adalah himpunan bilangan ganjil  ® L = {1,3,5,7,...,...}
3. Jika A adalah himpunan bilangan asli     ® A = {1,2,3,...,...}
4. Jika P adalah himpunan bilangan prima  ® P  = {2,3,5,7,....}
5. Jika C adalah himpunan bilangan cacah  ® C  = {0,1,2,3,..,..}

D. Menyatakan Suatu Himpunan 
a. Cara Deskripsi
Dengan penjelasan sifat-sifatnya atau dengan notasi pembentuk himpunan.
Contoh :
A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 7, dapat ditulis :
1. A = {bilangan cacah kurang dari 7}, atau
2. A = { x ½x < 7, Î bilangan cacah }

b. Cara Tabulasi 
Dengan mendaftarkan anggota himpunan satu per satu.
Contoh ;
A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 7, dapat dituliskan :
A = {0,1,2,3,4,5,6}

E. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memliki anggota.
Himpunan kosong dinotasikan dengan Ø atau {}
Contoh :
A = { siswa kelas VIII yang memili tinggi lebih dari 10 meter}, artinya A = Ø atau A = {}

Himpunan semesta adalah suatu himpunan yang memuat semua anggota dalam pembicaraan. Himpunan semesta umumnya dituliskan dengan notasi S.
Contoh :
Jika A = { a,b,c,d,e} dan X = {f,g,h,i}, maka himpunan semesta dapa berupa S = (a,b,c,d,f,g,h,i}

F. Himpunan Bagian
Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota dari himpunan B, maka A adalah himpunan bagian dari B atau subset B

Penulisan notasi himpunan bagian :
A Ì B artinya A adalah himpunan bagian dari B
A Ë B artinya A bukan merupakan himpunan bagian dari B.
Contoh :
Jika A = {bilangan asli}, Z = {bilangan bulat}, dan N = {bilangan prima}, maka hubungan yang yang dapat dilihat dari ketiga himpunan tersebut adalah : Z Ì A dan N Ì A

Sifat
Himpunan kosong merpakan himpunan bagian dari setiap himpunan dan setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu sendiri, yaitu untuk suatu himpunan A, maka berlaku  Ø Ì A dan A Ì A.
Contoh :
Jika P = {c.b.f}, maka himpunan bagian dari P adalah : {c}. {b}, {c}, {c,b}, {c,f}, {b,f}, {c,b,f} dan {}. Jadi banyaknya himpunan bagian dari himpunan P ada 8, yang juga termasuk himpunan kosong {}, dan himpunan P itu sendiri {c,b,,f}

Catatan
Jika jumlah anggota suatu himpunan A adalah n(A) = N, maka banyaknya anggota himpunan dari A adalah sebanyak 2^N himpunan.

G. Diagram Venn dan Hubungan Antar Himpunan
Diagram venn adalah gambar yang digunakann untuk menunjukan hubungan antara dua himpunan atau lebih.
Beberapa hubungan antar himpunan dapat ditunjukan dengan diagram venn, diantaranya :
a. Hubungan salang lepas

Dua Himpunan x dan y dikatakan saling lepas jika tidak ada satu pun anggota himpunan x yang menjadi anggota himpunan y, dan juga sebaliknya.
Contoh :
x = {1,4,5} dan y = {p,q,r}, artinya x dan y saling lepas, dan hubungan ini dapat dinyatakan dengan diagram venn di samping.




b. Hubungan Berpotongan 

Himpunan x dan y dikatakan berpotongan atau beririsan jika ada anggota himpunan x yang juga menjadi anggota himpunan  y.

Contoh :
x = {p,r,i,n,c,e}, y = {p,a,r,i,s}
Maka dapat dinyatakan seperti diagram venn disamping.





 c. Himpunan Bagian 

Suatu himpunan yang seluruh anggotanya merupakan bagian dari himpunan yang lain dan di notasikan dengan x Ì y.

Contoh :
Himpunan x = {1,3,5} dan y = {1,2,3,4,5}
maka diagram vennnya seperti gambar di samping.




D. Himpunan Ekuivalen
Dua himpunan x dan y dikatakan ekuivalen dan dituliskan denga notasi x ~ y, jika kedua himpunan tersebut memiliki anggota yang sama banyaknya. Dengan kata lain, n(x)  = n(y).
Contoh :
x = {p,e,r,s,i,b}. y = {t,e.r,t,i,b} ® n(x)  = n(y) = 6 artinya x ~ y.


e. Himpunan yang sama 

Dua himpunan x dan y dinyatakan sama jika setiap anggota himpunan x merupakan anggota himpunan y, dan sebalinya.
Dinotasian dengan : A = B

Contoh :
x = {bilangan cacah antara 2 dan 8 }
y = {bilangan asli antara 2 dan 8}
diagram venn jadi x = y = {3,4,5,6,7}


H. Operasi Himpunan
a. Irisan (Intersection)
Irisan himpunan x dan y adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota x dan juga anggota y, dinotasikan : x Ç y dibaca "Irisan himpunan x dan y"
Contoh :
x = {p,r,i,n,c,e}
y = {p,a,r,i,s}
diagram venn :
x Ç y  = {p,r,i}

b. Gabungan (Union)
himpunan yang anggota - anggotanya merupakan gabungan dari anggota yang lain dan dinotasikan : x È y, dibaca " x union y atau gabungan dari y"
Contoh :
x = {s,i,u,n,g}
y = {i,n,d,a.h}
diagram venn x È y :

c. Komplemen
Komplemen suatu himpunan x dan ditulis x^c , adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A.
Contoh :
x = {himpunan bilangan asli kurang dari 9}
y = {himpunan bilangan prima kurang dari 12}
artinya , y^c = {1,4,6,8}

I. Sifat-Sifat Operasi Himpunan
a. Komutatif
(xÈy)Èz = xÈ(yÈz)
(xÇy)Çz = xÇ(yÇz)
xÈ(yÇz) = (xÈy)Ç(xÈz)
xÈy        = yÈx

b. Asosiatif 
(xÈy)Èz = xÈ(yÈz)
(xÇy)Çz = xÇ(yÇz)
xÈ(yÇz) = (xÈy)Ç(xÈz)

c. Sifat De morgan

(xÇy)^c  =  x^c  È y^c

(xÈy)^c  =  x^c  Ç y^c

J. Jumlah Anggota Himpunan

Misalkan dimiliki dua himpunan x dan y dengan diagram venn :

Maka akan diperoleh hubungan sebagai berikut :

n(xÈy) = n(x) + n(y) - n(xÇy)

Sedangkan untuk tiga himpunan, akan digunakan rumus :

n(xÈyÈz) = n(x)+n(y)+n(z) - n(xÇy) - n(xÇz) - n(yÇz) + n(xÇyÇz)

Contoh :

Dari 40 orang anak, 16 orang memelihara burung, 21 memelihara kucing, dan 12 orang memelihara burung dan kucing. Jumlah anak yang tidak memiliki burung ataupun kucing adalah ?????

Jawab :

S = {banyaknya anak} ® n(S) = 40 

B = {anak yang memelihara burung}® n(S) = 16

C = {anak yang memelihara kucing} ® n (C) = 21

BÇC= {anak yang memelihara burung dan kucing}®  n(BÇC) = 12

Diagram venn : 

Jika BÈC = {jumlah seluruh anak yang memelihara burung digabung dengan jumlah yang memelihara kucing}

maka n(BÈC) = n(B) + b(C) - n(BÇC)  = 16 + 21 -12 = 25

dan n(BÈC)^c = {anak yang tidak memelihara burung atau pun kucing}

n(BÈC)^c = n(S) - n(BÈC) = 40 - 25 = 15

Maka jumlah anak yang tidak memelihara burung ataupun kucing adalah 15 orang.

Aturan Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bentuk Akar

Dalam operasi bilangan ada yang namanya operasi tambah atau operasi pertambahan dan operasi kurang atau operasi pengurangan. Sejak kita sekolah dasar kita pasti sudah belajar yang namanya pertambahan dan perkalian, dimana jika 1 + 1 = 2 atau 2-1 = 1. Operasi pertambahan dan pengurangan adalah ilmu yang paling dasar dalam pelajaran matematika. Jika kita tidak bisa atau tidak faham tentang pengurangan dan pertambahan maka sudah dipastikan kita tidak akan pernah faham tentang ilmu matematika.

Namun ktika masuk jenjang sekolah menengah, maka kita akan mendapatkan materi yang lebih tinggi lagi levelnya. Ktika dahulu di sekolah dasar kita hanya menjumlahkan atau mengkurangan bilangan bilangan biasa saja seperti bilangan rill, bilangan desimal, penjumlahan dan pengurangan ini sudah sangatlah mudah, namun bagaimana jika anda diberikan sebuah soal tentang penjumlahan dan pengurangan pada bilangan berbuntuk akar, misalkan berapakan hasil dari √2 + √5 ??? apakah hasilnya √7?? tentu saja bukan, karena aturan penjumlahan dan pengurangan pada bilangan ankar itu berbeda, tentunya mempunyai aturan tersendiri.

Aturan Penjumlahan Bilangan Bentuk Akar

Aturan penjumlahan pada bilangan bentuk akar hanyalah satu yaitu "Bentuk akar dapat dijumlahkan jika bentuk akarnya sejenis".

Contoh :

Berpakah hasil dari √32 + √8 ?????

Jawab :

Nah karena bentuk akarnya belum sama, maka kita harus sederhanakan dahulu bentuk bentuk akarnya supaya sama, maka :

√32 = √16 x √2

√32 = √(4x4) x √2
√32 = 4 x √2

√32 = 4√2

dan :

√8 = √4 x √2

√8 = √(2x2) x √2

√8 = 2 x √2

√8 = 2√2

 maka :

√32 + √8 = 4√2 + 2√2

√32 + √8 = (4 + 2)√2

√32 + √8 = 6√2

Jadi hasil dari √32 + √8 adalah 6√2

Aturan Pengurangan Bilangan Bentuk Akar

Aturan pengurangan pada bentuk akar pun sama dengan aturan penjumlahan bentuk akar yaitu "Bentuk akar dapat dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis".

Contoh :

Berpakah hasil dari √32 - √8 ?????

Jawab :

Nah karena bentuk akarnya belum sama, maka kita harus sederhanakan dahulu bentuk bentuk akarnya supaya sama, maka :

√32 = √16 x √2

√32 = √(4x4) x √2
√32 = 4 x √2

√32 = 4√2

dan :

√8 = √4 x √2

√8 = √(2x2) x √2

√8 = 2 x √2

√8 = 2√2

 maka :

√32 - √8 = 4√2 - 2√2

√32 - √8 = (4 - 2)√2

√32 - √8 = 2√2

Jadi hasil dari √32 - √8 adalah 2√2

Kesimpulan

Jadi untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan dalam bentuk akar itu berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan pada bentuk bilangan biasa, yang dimana aturannya sudah saya jelaskan diatas. Dan apabila bilangan bilangan akar yang akan dioperasikan pada penjumlahan atau pengurangan belum sama bentuk akarnya maka haruslah disederhanakan dulu sehingga bentuk akarnya sama, untuk cara penyederhanaannya bisa kalian baca di artikel Cara menyederhanakan bilangan bentuk akar. Dan apabila masih tidak bisa disederhanakan maka sudahlah hasilnya sama seperti soal.